Электрические токи с несинусоидальными периодическими напряжениями

5.2. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Периодические несинусоидальные величины могут быть представлены временными диаграммами, тригонометрическим рядом Фурье, а также эквивалентными синусоидами. Наиболее наглядными, дающими полное представление о несинусоидальной величине являются временные диаграммы, т. е. графики зависимости  мгновенных  значений  от  времени  (рис.   5.2 — 5.4).

Несинусоидальные ЭДС, токи и напряжения, с которыми приходится встречаться в электротехнике и промышленной электронике, являются периодическими функциями, удовлетворяющими условиям Дирихле и, следовательно, могут быть представлены тригонометрическим рядом Фурье:

f(ωt) = A + A1m sin(ωt + ψ1) + A2m sin(2(ωt + ψ2) +…  +

+ Akm sin(kωt + ψk)+ …,
A — A1mt + 1ТAkm kt + kkAkm kk

Тригонометрический ряд может быть представлен как в виде суммы синусов (синусный ряд), так и суммы косинусов (косинусный ряд) гармонических составляющих.

В зависимости от характера реальной кривой f(ωt) тригонометрический ряд может не содержать постоянней составляющей, четных или нечетных высших гармоник, а также начальных фаз. Например, тригонометрические ряды Фурье некоторых несинусоидальных напряжений имеют вид:

напряжение на нагрузке при однополупериодном выпрямлении (см. рис. 5.2, а)

u(t) =	Umax	(1 +	π	cos ωt +	2	cos 2ωt –	2	cos 4ωt + … );
π	2	3	15

напряжение на нагрузке при двухполупериодном выпрямлении (см. рис; 5.2, б)

u(t) =	2Umax	(1 +	2	cos 2ωt –	2	cos 4ωt +	2	соs 6ωt – … );
π	3	15	35

напряжение на нагрузке при трехфазном выпрямлении (см. рис. 5.2, в)

u(t) =	3Umax	(1 +	2	cos 6ωt –	2	cos 12ωt +	2	соs 18ωt – … );
π	35	143	323

напряжение треугольной формы (ем. рис. 5.3, а)

u(t) =	8Umax	( sin ωt –	1	sin 3ωt +	1	sin 5ωt –	1	sin 7ωt + … );
π2	9	25	49

напряжение прямоугольной формы (см. рис. 5.3, б)

u(t) =	4Umax	( sin ωt +	1	sin 3ωt +	1	sin 5ωt +	1	sin 7ωt + … );
π	3	5	7

Рис. 5.5. Диаграмма амплитудно-частотного спектра

Рис. 5.6. Диаграмма фазочастотного спектра

В практических расчетах цепей с несинусоидальными ЭДС, токами и напряжениями их мгновенные значения приближенно отображают конечным рядом Фурье (3 — 7 членов ряда). Число членов  ряда  определяется  необходимой   точностью  расчета.

Характеристика несинусоидальных величин, представленных рядом Фурье, может быть осуществлена графически с по­мощью диаграмм амплитудно-частотного (рис. 5.5) и фазоча­стотного (рис. 5.6) спектров. Данные диаграммы характеризуют форму несинусоидальных кривых, причем первая диаграмма показывает спектральный состав по амплитудам, т. е. представ­ляет зависимость амплитуд гармоник в относительных еди­ницах от частоты, вторая диаграмма выражает зависимость начальных фаз гармоник от частоты.

Периодические несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи могут быть представлены так же эквивалентными синусоидами (см. § 5.5).

4.1.2 Разложение в ряд при различных видах симметрии

Периодические функции, используемые в электротехнике, чаще всего имеют симметрию. Одни из них симметричны относительно оси абсцисс, другие – относительно оси ординат или начала координат.

На рисунке 4.1 показан график функции, симметричной относительно оси абсцисс. Для такого графика:

Рисунок 4.1 – График функции, симметричной относительно оси абсцисс

При симметрии относительно оси абсцисс значения функции повторяются с обратным знаком через половину периода, поэтому кривая второго полупериода, сдвинутая влево на π, является зеркальным отображением кривой первого полупериода.

В составе тригонометрического ряда функции, подчиняющейся условию (4.8), отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники. В этом нетрудно убедиться, если записать ряды вида (4.1), для функций ƒ(ωt) и ƒ(ωt+π):

Функция ƒ(ωt+π) отличается от ƒ(ωt) тем, что все нечетные гармоники имеют отрицательный знак:

Согласно условию (4.8) ƒ(ωt)+ƒ(ωt+π)=0 Тогда

При любом значении ωt это равенство возможно, если A=0; A₂=0; A₄=0 и т.д.

Таким образом, кривая, симметричная относительно оси абсцисс, выражается тригонометрическим рядом следующего вида:

Симметрию относительно оси ординат имеют кривые, у которых при изменении знака аргумента величина и знак функции не меняются (рис.4.2):

Рисунок 4.2 – Симметрия относительно оси ординат

Функция, симметричная относительно оси ординат, не содержит синусов:

В этом можно убедиться без математического доказательства. Действительно, входящие в состав ряда (17.4) косинусы симметричны относительно оси ординат, а синусы несимметричны. Если функция в целом симметрична относительно оси ординат, то это возможно лишь при отсутствии синусов. Наличие же постоянной составляющей не нарушает симметрии такого вида.

Симметрия относительно начала координат (рис. 17.3) соответствует условию:

Нетрудно заметить, что в данном случае в обеих половинах периода имеются две равные по величине ординаты с разными знаками. Поэтому среднее значение функции за период, или постоянная составляющая, равно нулю. Отсутствуют и несимметричные относительно начала координат косинусоидальные составляющие.

Рисунок 4.3 – – Симметрия относительно начала координат

Функция имеет только ряд синусов, обладающих симметрией такого же характера, как и функция в целом:

Общие сведения о переходных процессах.

Переходные процессы возникают в электрических цепях при раз­личных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т. е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, на­пример ключей, переключателей для включения или отключения ис­точника или приемника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи |и т. д.

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия маг­нитного и электрического полей этих эле­ментов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным урав­нением — неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Заметим,  что пере­ходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифферен­циальными уравнениями, а в нелинейной – нелинейными. В дальнейшем ограничимся расчетом переходных процессов в ли­нейных   цепях,   содержащих   элементы  с  постоянными   параметрами.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Текст слайда:

Периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях

Слайд 2

Текст слайда:

Изображение несинусоидальных напряжений и токов с помощью рядов Фурье

где

Слайд 3

Текст слайда:

Линейчатый спектр сигнала: а)амплитудный; б)фазовый

а)

б)

Слайд 4

Текст слайда:

Действующее значение периодического несинусоидального колебания

где

– постоянная составляющая тока

– действующее значение первой, второй, третьей гармоники тока

где

– постоянная составляющая напряжения

– действующее значение первой, второй, третьей гармоники напряжения

Коэффициент гармоник:

Коэффициент нелинейных искажений:

Слайд 5

Текст слайда:

Мощность в цепях несинусоидального тока

Активная мощность

где

– сдвиг фаз между k-ми гармониками напряжения и тока

Реактивная мощность

Полная мощность

Мощность искажения

Слайд 6

Текст слайда:

Расчет линейных электрических цепей несинусоидального тока

Згідно принципу накладення, миттєве значення струму будь-якої вітки кола дорівнює доданку миттєвих значень струмів окремих гармонік. Розрахунок проводять для кожної гармоніки окремо. Спочатку необхідно розрахувати струм від дії постійної складової ЕДС, потім струм від дії від першої гармоніки, потім другої, третьої і так далі.При розрахунку струмів, що виникають від дії постійної складової, необхідно враховувати, що постійний струм через конденсатор не проходить.Індуктивний опір для k-гармоники:

Емнісний опір для k-гармоники:

Слайд 7

Текст слайда:

Приклад розрахунку

Напругу на вході кола задано рядом Фур’є

Необхідно визначити міттеве значення струму i у колі, якщо R=10 Ом, L=25,48 мГн, С=398 мкФ,

=314 рад/с.

Слайд 8

Текст слайда:

1. Визначаємо постійну складову струму

2. Визначаємо повні опори кола для кожної гармоніки

3. Визначаємо амплітудні значення струмів для кожної гармоніки

,

, 4. Міттеве значення струму записуємо у вигляді

Слайд 9

Текст слайда:

5. Побудуємо графік струму

6. Визначаємо діючи значення струму і напруги

7. Визначаємо активну, реактивну, повну потужності кола.

Слайд 10

Текст слайда:

1. Визначити миттєве значення струму споживача з активним опором 10 Ом, увімкненого на несинусоїдну напругу u = (220sinωt + 20sin3ωt ) B.

2. Визначити діюче значення струму, який змінюється в часі за законом

.

3. Визначити миттєве значення струму, який протікає через конденсатор з опором

, якщо напруга на конденсаторі має миттєве значення

.

4.

Слайд 11

Текст слайда:

Резонансы в цепях периодического несинусоидального тока

Резонанс на k-ой гармонике – это такой режим работы цепи, при котором k-ая гармоника тока в цепи
совпадает по фазе с k-ой гармоникой напряжения.

Условие резонанса

1) Классический метод расчета переходных процессов

Название метода “классический” отражает использование в нем ре­шений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами ме­тодами классической математики. 

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы:

1.  Прежде всего, необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описываю­щих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднород­ное относительно искомого тока i   или напряжения u.  Для простых цепей  получается  дифференциальное уравнение  первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в   индуктивном  элементе, либо напряжение  на емкостном  элементе.

2.  Далее следует составить общее решение полученного неоднород­ного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установив­шийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. по­стоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники посто­янных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при дей­ствии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают  i и  u и называют установив­шимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описы­вает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают i

и и и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно пред­шествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следую­щий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скач­ком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении i = i_y + i_св  , и = и_y + и_св  следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. что коммутация в заданный момент времени  происходит мгновенно. При таких комму­тациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном эле­менте в начальный момент времени после коммутации  такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммута­ции. Эти условия получаются из законов коммутации.

5.5. Вопросы и задания для самопроверки

Какова математическая модель спектра периодического несинусоидального сигнала?
Какой вид имеет спектр периодического негармонического сигнала?
Как изменяется спектр периодического негармонического сигнала при сдвиге начала отсчета заданной функции?
Как определить спектр периодической функции, заданной графически?
Как определяется средняя за период активная мощность периодического негармонического сигнала?
Как определяется и что характеризует мощность искажений?
Как рассчитывается спектр комплексных амплитуд последовательности прямоугольных импульсов?
Как влияет скважность импульсов на спектр сигнала?
Рассчитать и построить спектр амплитуд последовательности прямоугольных импульсов с параметрами: Um = 3В, f = 0,5 кГц для двух случаев (q = 2, q = 5).
Ответ: 1) q = 2; U = 3 В; Um1 = 1,9 В; Um2 = 0; Um3 = 0,64 В;Um4 = 0; Um5 = 0,38 В; Um6 = 0.
2) q = 5; U = 1,2 В; Um1 = 1,1 В; Um2 = 0,91 В; Um3 = 0,6 В; Um4 = 0,28 В; Um5 = 0; Um6 = 0,19 В; Um7 = 0,25 В; Um8 = 0,23 В; Um9 = 0,12 В; Um10 = 0.

Каков алгоритм расчета линейных электрических цепей, находящихся под воздействием периодических негармонических сигналов?
На вход цепи, изображенной на рис. 5.8, поступает периодический негармонический сигнал u(t) = U + Um1sin1t + Um3sin(31t + 3); U = 30 В; Um1 = 100 В; Um3 = 40 В; 3 = 20°. Параметры элементов цепи на основной частоте известны: 1L = 12 Ом; 1/(1С) = 30 Ом; R1 = 6 Ом; R2 = 5 Ом; R3 = 20 Ом

Рассчитать: 1) ток в неразветвленной части схемы и записать его мгновенное значение; 2) действующие значения всех токов; 3) активную мощность, потребляемую цепью. Ответ: 1) i1(t) = 3 + 5,88sin(1t – 16° 30′ ) + 2,6sin(31t + 55°), A. 2) I1 = 5,45 А; I2 = 4,4 А; I3 = 2,64 А; I4 = 2,57 А. 3) P = 415 Вт.

Резонансные явления в линейных электрических цепях при негармонических периодических воздействиях.
Для цепи изображенной на рис. 5.7, найти значения С1 и С2, при которых одновременно возникает резонанс напряжений на 1-ой гармонике и резонанс токов на 5-ой гармонике, если заданы L1 = 10 мГн; 1 = 5×103 рад/с.
Ответ: С1 = 4 мкФ; С2 = 0,167 мкФ.

Несинусоидальный ток

Несинусоидальные токи и напряжения могут измеряться приборами различных систем. Изучение принципа действия приборов-производится в курсе электрических измерений. Поэтому здесь упомянем лишь, на какие величины реагируют вольтметры и амперметры различных систем.
 

Несинусоидальные токи и Переходные явления в простейших цепях с сосредоточенными постоянными, не предусмотренные программой курса.
 

Несинусоидальные токи, изменяющиеся по величине, называют также пульсирующими токами.
 

Несинусоидальные токи в цепях возникают при синусоидальных ЭДС и напряжениях источников электрической энергии, если цепи содержат нелинейные элементы. Так, в катушке с ферромагнитным магнитопроводом, которая является нелинейным элементом, при синусоидальном напряжении сети ток несинусоидальный. Подобное явление наблюдается в промышленных городских сетях, когда в качестве осветительных приборов используются люминесцентные лампы, имеющие нелинейные вольт-амперные характеристики. На рис. 5.1 показана схема включения люминесцентной лампы Л в сеть синусоидального напряжения с ограничивающим дросселем L, работающим в линейном режиме, а также приведены графики тока и напряжения на лампе.
 

Несинусоидальные токи и напряжения могут измеряться приборами различных систем. Принципы действия этих приборов рассматривают в курсе электрических измерений. Поэтому здесь упомянем лишь, на какие величины реагируют вольтметры и амперметры различных систем.
 

Несинусоидальные токи и напряжения измеряют приборами различных систем. Принципы действия этих приборов рассматривают в курсе электрических измерений. Поэтому здесь упомянем лишь, на какие величины реагируют вольтметры и амперметры различных систем.
 

Несинусоидальные токи, напряжения и потоки заменены эквивалентными синусоидами.
 

Построение графика тока по графику напряжения и вольт-амперной характеристике.

Несинусоидальные токи и напряжения, встречающиеся в электрических цепях, представляют собой периодические функции времени, удовлетворяющие условиям Дирихле, поэтому они могут быть разложены в ряд Фурье. Физический смысл этого разложения чрезвычайно важен: периодически изменяющийся несинусоидальный ток можно рассматривать как сумму постоянного тока и ряда синусоидальных переменных токов.
 

Несинусоидальные токи перегружают конденсаторы, емкостное сопротивление которых обратно пропорционально порядку гармоник.
 

Несинусоидальные токи создают путем индукции большие помехи в проводных линиях связи и каналах телемеханики.
 

Несинусоидальные кривые, состоящие из основной частоты и гармоники третьего порядка.

Несинусоидальные токи – это токи, форма кривой которых отличается от синусоиды.
 

Несинусоидальные токи могут возникнуть по следующим причинам: источник электрической энергии дает несинусоидальное напряжение и все элементы цепи линейны; источник электрической энергии дает синусоидальное напряжение, но один или несколько элементов цепи нелинейны; источник электрической энергии дает несинусоидальное напряжение и электрическая цепь содержит одно или несколько нелинейных сопротивлений.
 

К построению графика мгно – j.

Метки

• алгоритм расчет цепей при несинусоидальных периодических воздействиях
• алгоритм расчета цепей периодического несинусоидального тока
• баланс мощностей
• ВАХ нелинейного элемента
• Векторная диаграмма
• ветви связи
• взаимная индуктивность
• взаимная проводимость
• вольт-амперная характеристика нелинейного элемента
• второй закон Кирхгофа
• второй закон Кирхгофа для магнитных цепей
• входная проводимость
• гармоники напряжения
• гармоники тока
• Генератор напряжения
• генератор тока
• главные контуры
• графический метод расчета нелинейных электрических цепей
• динамическое сопротивление
• дифференциальное сопротивление
• емкость двухпроводной линии
• емкость коаксиального кабеля
• емкость конденсатора
• емкость однопроводной линии
• емкость плоского конденсатора
• емкость цилиндрического конденсатора
• закон Ампера
• закон Био Савара Лапласа
• закон Ома
• закон полного тока
• закон электромагнитной индукции
• Законы Кирхгофа
• индуктивность
• индуктивность двухпроводной линии
• индуктивность однопроводной линии
• индуктивность соленоида
• катушка со сталью
• Конденсатор в цепи постоянного тока
• контурные токи
• коэффициент амплитуды
• коэффициент гармоник
• коэффициент искажения
• коэффициент магнитной связи
• коэффициент мощности трансформатора
• коэффициент трансформации
• коэффициент формы
• кусочно-линейная аппроксимация
• магнитная постоянная
• магнитная цепь
• магнитный поток рассеяния
• метод активного двухполюсника
• метод двух узлов
• метод контурных токов
• метод наложения
• метод узловых напряжений
• метод узловых потенциалов
• метод эквивалентного генератора
• метод эквивалентного источника ЭДС
• Метод эквивалентных преобразований
• методы расчета магнитных цепей
• независимые контуры
• нелинейный элемент
• несинусоидальный периодический ток
• обобщенный закон Ома
• опорный узел
• основной магнитный поток
• параллельное соединение конденсаторов
• первый закон Кирхгофа
• первый закон Кирхгофа для магнитных цепей
• последовательное соединение конденсаторов
• последовательный колебательный контур
• постоянная составляющая тока
• потери в меди
• потери в стали
• приведенный трансформатор
• Примеры расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях
• принцип взаимности
• принцип компенсации
• расчет гармоник тока
• расчет магнитной цепи
• расчет нелинейных цепей постоянного тока
• расчет цепей несинусоидального тока
• Расчет цепи конденсаторов
• расчет цепи с несинусоидальными периодическими источниками
• Резонанс в электрической цепи
• решение задач магнитные цепи
• сила Ампера
• сила Лоренца
• Символический метод
• собственная проводимость
• статическое сопротивление
• сферический конденсатор
• теорема об эквивалентном источнике
• теорема Тевенена
• топографическая диаграмма
• Трансформаторы
• трехфазная система
• удельная энергия магнитного поля
• уравнения трансформатора
• Цепи с конденсаторами
• частичные токи
• чередование фаз
• ЭДС самоиндукции
• эквивалентная схема трансформатора
• электрическая постоянная
• электроемкость
• энергия магнитного поля

Периодический переменный ток

Развёрнутая диаграмма периодического переменного токаПериодическим переменным током

называется такой электрический ток, который через равные промежутки времени повторяет полный цикл своих изменений, возвращаясь к своей исходной величине.

На представленной диаграмме мы видим, что через равные промежутки времени T {\displaystyle T} график тока воспроизводится полностью без каких-либо изменений.

Время T {\displaystyle T} , в течение которого переменный периодический ток совершает полный цикл своих изменений, возвращаясь к своей исходной величине, называется периодом переменного тока

Величина, обратная периоду, называется частотой

переменного тока: f = 1 T {\displaystyle f={\frac {1}{T}}} , где f {\displaystyle f} — частота переменного тока; T {\displaystyle T} — период переменного тока. Если выразить время T {\displaystyle T} в секундах (sec

), то будем иметь: f = 1 T {\displaystyle f={\frac {1}{T}}\left} , то есть размерность частоты переменного тока выражается в 1/с .

Частота переменного тока численно равна числу периодов в секунду.

За единицу измерения частоты переменного тока принят 1 герц (1 гц, 1 Гц, 1 Hz

).

Герц — единица Международной системы единиц (СИ

), названа в честь Генриха Герца. Через основные единицы СИ герц выражается следующим образом:1 Гц = 1 −1 . Десятичные кратные и дольные единицы образуют с помощью стандартных приставок СИ.

Частота переменного тока равна одному герцу, если период тока равен одной секунде (один полный цикл за одну секунду).

Стандарты частоты

В большинстве стран в электротехнике применяются частоты 50 или 60 Гц (60 Гц — этот вариант принят в США и Канаде). В некоторых странах, например, в Японии, используются оба стандарта (см. Промышленная частота переменного тока)

Частота 16 ⅔ Гц до сих пор используется в некоторых европейских железнодорожных сетях (Австрия, Германия, Норвегия, Швеция и Швейцария), частота 25 Гц — на старых железнодорожных линиях США. (См. Электрификация железных дорог переменным током пониженной частоты).

В авиации и военной технике для снижения массы устройств или с целью повышения частоты вращения электродвигателей переменного тока применяется частота 400 Гц.Число оборотов ротора n {\displaystyle n\left} синхронного электродвигателя определяется по формуле: n = 60 f p {\displaystyle n={\frac {60f}{p}}} , где

f {\displaystyle f} — частота переменного тока;

p {\displaystyle p} — число пар полюсов.Так как минимальное число пар полюсов равно единице, тогда синхронный электродвигатель, работающий на переменном токе частотой 50 герц разовьёт 3 000 оборотов в минуту, а электродвигатель, работающий на переменном токе частотой 400 герц, разовьёт 24 000 оборотов в минуту. Частота вращения ротора асинхронного электродвигателя меньше, чем частота питающего его тока и зависит от нагрузки. Скольжение — разность между частотой вращения вращающегося магнитного поля и частотой вращения ротора. В технике связи применяются частоты более высокие, и в частности в радиотехнике — порядка миллионов и миллиардов герц.

5.3. Спектры периодических негармонических сигналов

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов, изображенную на рис. 5.3, а. Сигналы подобной формы находят очень широкое применение в радиотехнике и электросвязи: телеграфия, цифровые системы передачи, системы многоканальной связи с временным разделением каналов, различные импульсные и цифровые устройства и др. (см. гл. 19). Импульсная последовательность характеризуется следующими основными параметрами: амплитудой импульса Aи , его длительностью tи и периодом следования Т

Отношение периода Т к длительности tи называется скважностью импульсов и обозначается через q = T/tи. Обычно значения скважности импульсов лежат в пределах от нескольких единиц (в измерительной технике, устройствах дискретной передачи и обработки информации), до нескольких сотен или тысяч (в радиолокации)

Для нахождения спектра последовательности прямоугольных импульсов воспользуемся рядом Фурье в комплексной форме (5.6). Комплексная амплитуда k-й гармоники равна согласно (5.8) после возвращения к исходной переменной t.

   (5.27)

Подставив значение A_k в уравнение (5.6), получим разложение в ряд Фурье:    (5.28)

На рис. 5.4 изображен спектр комплексных амплитуд для q = 2 и q = 4. Как видно из рисунка, спектр последовательности прямоугольных импульсов представляет собой дискретный спектр с огибающей (штриховая линия на рис. 5.4), которая описывается функцией    (5.29) носящей название функции отсчетов (см. гл. 19). Число спектральных линий между началом отсчета по оси частот и первым нулем огибающей равно q—1. Постоянная составляющая сигнала (среднее значение) , а действующее значение A = , т.е

чем больше скважность, тем меньше уровень постоянной составляющей и действующее значение сигнала. С увеличением скважности q число дискретных составляющих увеличивается — спектр становится гуще (см

рис. 5.4, б), и амплитуда гармоник убывает медленнее. Следует подчеркнуть, что в соответствии с (5.27) спектр рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов вещественный.

Из спектра комплексных амплитуд (5.27) можно выделить амплитудный A_k = |A_k| и фазовый спектр _k = argA_k, изображенный на рис. 5.5 для случая q = 4. Из рисунков видно, что амплитудный спектр является четной, а фазовый — нечетной функцией частоты. Причем, фазы отдельных гармоник принимают либо нулевое значение между узлами, где синус положительный, либо ±, где синус отрицательный (рис. 5.5, б)

На основании формулы (5.28) получим тригонометрическую форму разложения в ряд Фурье по четным гармоникам (сравни с (5.15)):    (5.30)

При сдвиге импульсной последовательности по оси времени (рис. 5.2, б) в соответствии с (5.13) ее амплитудный спектр останется прежним, а фазовый спектр изменится:    (5.31)

В случае, когда периодическая последовательность имеет разнополярную форму (см. рис. 5.1), в спектре будет отсутствовать постоянная составляющая (сравните (5.30) и (5.31) с (5.14) и (5.15)).

Аналогичным образом можно исследовать спектральный состав периодических негармонических сигналов другой формы. В табл.5.1 приведено разложение в ряд Фурье некоторых наиболее распространенных сигналов.

Таблица 5.1

	Типы сигнала	Разложение в ряд Фурье
1
2
3
4
5
6

5.2. Действующее, среднее значение и мощность периодического негармонического сигнала

Для определенности положим, что f(t) имеет смысл тока i(t). Тогда действующее значение периодического негармонического тока определяется согласно (3.5), где i(t) определяется уравнением (5.10):    (5.17)

Подставив это значение тока в (3.5), после интегрирования получим    (5.18)

т. е. действующее значение периодического негармонического тока I полностью определяется действующими значениями его гармоник I_k и не зависит от их начальных фаз _k.

Аналогичным образом находим действующее значение периодического несинусоидального напряжения:    (5.19)

Среднее значение тока определяется согласно общему выражению (3.9). Причем обычно берут среднее значение i(t) по абсолютной величине    (5.20)

Аналогично определяется U_ср(2).

С точки зрения теории цепей, большой интерес представляет средняя активная мощность негармонического сигнала и распределение ее между отдельными гармониками.

Средняя активная мощность периодического несинусоидального сигнала    (5.21) где    (5.22)

_k — фазовый сдвиг между током и напряжением k-й гармоники.

Подставляя значения i(t) и u(t) из (5.22) в уравнение (5.21), после интегрирования получаем:    (5.23) т, е. средняя за период активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей отдельных гармоник. Формула (5.23) является одной из форм широко известного равенства Парсеваля.

Аналогично находим реактивную мощность    (5.24) и полную мощность    (5.25)

Следует подчеркнуть, что в отличие от гармонических сигналов для негармонических сигналов    (5.26)

Величина P_иcк = носит название мощности искажений и характеризует степень различия в формах тока i(t) и напряжения u(t).

Кроме мощности искажений периодические негармонические сигналы характеризуются еще рядом коэффициентов: мощности, k_м = P/S; формы K_ф = U/U_ср(2); амплитуды K_a = U_m/U; искажений k_и = U₁/U; гармоник k_г = и др.

Для синусоидального сигнала k_ф = /21,11; k_a = 1,41; k_и = 1; k_г = 0.

Заказать решение ТОЭ

• Метрология Электрические измерения
• Пигарев А.Ю. РГЗ по электротехнике и электронике в Multisim
• Теория линейных электрических цепей ТЛЭЦ
  • —
    Теория линейных электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики и связи: задание на контрольные работы № 1 и 2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте
    • —
      Контрольная работа №1
    • —
      Контрольная работа №2
• Электротехника и основы электроники
  • —
    Электротехника и основы электроники: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Соколов Б.П., Соколов В.Б. – М.: Высш. шк., 1985. – 128 с, ил
    • —
      Контрольная работа № 1 Электрические цепи
    • —
      Контрольная работа № 2 Трансформаторы и электрические машины
    • —
      Контрольная работа № 3 Основы электроники
• Теоретические основы электротехники ТОЭ
  • —
    Артеменко Ю.П., Сапожникова Н.М. Теоретические основы электротехники: Пособие по выполнению курсовой работы МГТУ ГА 2009
  • —
    Переходные процессы Переходные процессы в электрических цепях
  • —
    Теоретические основы электротехники Методические указания и контрольные задания для студентов технических специальностей вузов
    • —
      Задание 1 Линейные электрические цепи постоянного и синусоидального тока
      • —
        Задача 1.1 Линейные электрические цепи постоянного тока
      • —
        Задача 1.2 Линейные электрические цепи синусоидального тока
    • —
      Задание 2 Четырехполюсники, трехфазные цепи, периодические несинусоидальные токи, электрические фильтры, цепи с управляемыми источниками
  • —
    Теоретические основы электротехники сб. заданий Р.Я. Сулейманов Т.А. Никитина Екатеринбург УрГУПС 2010
  • —
    Трехфазные цепи. Расчет трехфазных цепей
  • —
    УГТУ-УПИ Решение ТОЭ Билеты по ТОЭ
  • —
    Электромагнитное поле Электростатическое поле Электростатическое поле постоянного тока в проводящей среде Магнитное поле постоянного тока

2) Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод не обладает физической наглядностью в силу своей глубокой математической формализации, но в ряде случаев упро­щает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного про­цесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного р, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Такое преобразование называется прямым. Полученное решение алгебраи­ческих уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного. Строгое обоснование метода дается в курсе математики. Здесь познакомимся лишь с техникой применения операторного метода.

Для прямого преобразования функций времени f(t) применяется преобразование Лапласа,

что сокращенно записывается так:

где функция времени f{t) – однозначная, называемая оригиналом, определенная при t > 0, интегрируемая в интервале времени 0 до ∞ и равная нулю при t < 0; F(p) – функция комплексного переменно­го р = σ + jώ при Re p = о > 0, называемая лапласовым изображением.

Примем, что начало переходного процесса в цепи соответствует мо­менту времени    t=0.

В  табл.  5.1   приведены примеры изображения  простых функций.

Отметим некоторые свойства преобразования Лапласа, называемые также теоремами.

2. Теорема об интегрировании 

4.1.1 Разложение периодических несинусоидальных функций в гармонический ряд

Аналитическое описание несинусоидальной периодической функции осуществляется с помощью теоремы Фурье, согласно которой любая периодическая функция ƒ(ωt) может быть представлена в виде суммы ряда составляющих, из которых одна составляющая постоянная, а другие являются синусоидальными функциями с кратными частотами (гармонические составляющие или просто гармоники).

где A; – постоянная составляющая (нулевая гармоника);

А₁, А₂;, А₃;, А_k; – амплитуды гармонических составляющих;

φ₁, φ₂, φ₃, φ_k – начальные фазы соответствующих гармоник.

Первая гармоническая составляющая имеет период, равный периоду несинусоидальной кривой ƒ(ωt). Она называется первой или основной гармоникой.

Все другие гармонические составляющие имеют частоты, в целое число раз большие частоты первой гармоники. Эти гармоники называются высшими.

Выражение 4.1 можно преобразовать, применив известную из тригонометрии формулу синуса суммы двух углов:

Обозначив постоянные величины A_k;Cosφ_k=B_k, A_kSinφ_k=C_k, получим:

Применяя подобную запись ко всем гармоническим составляющим, несинусоидальную функцию можно представить так:

Особенность такой записи состоит в том, что гармоники составляют ряд синусов и ряд косинусов с нулевыми начальными фазами.

Коэффициенты A; B_k; C_k ряда определяются при помощи следующих формул:

Если закон изменения ординат кривой можно выразить аналитически, то выражения (4.5) – (4.7) позволяют в большинстве случаев выполнить аналитически разложение в тригонометрический ряд вида (4.4) и далее, если требуется перейти к ряду (4.1). Постоянная составляющая, как видно из формулы (4.5), является средним значением функции за ее период.

Таким образом, постоянная составляющая в тригонометрическом ряду отсутствует, если среднее за период значение функции равно нулю.